Tes Kemampuan Akademik (TKA), atau academic ability test adalah salah satu bentuk asesmen yang dikembangkan oleh Pusat Asesmen dan Pembelajaran (Pusmendik), Kementerian Pendidikan Dasar dan Menengah, untuk memotret capaian akademik siswa secara objektif, terukur, dan adil. TKA pertama kali mulai diselenggarakan pada tahun 2025. TKA diselenggarakan sebagai asesmen sukarela yang dapat diikuti oleh siswa dari berbagai jenjang pendidikan. Kehadiran TKA didasarkan pada kebutuhan akan instrumen evaluasi yang terstandar secara nasional sehingga hasilnya tidak hanya menjadi gambaran pencapaian individu, tetapi juga dapat dipakai sebagai tolok ukur dalam mengidentifikasi posisi capaian belajar siswa dibandingkan dengan standar kompetensi yang berlaku. Dengan demikian, TKA tidak dimaksudkan sebagai ujian yang menimbulkan beban, melainkan sebagai sarana diagnosis akademik yang bermanfaat bagi siswa, guru, maupun sekolah.
Lebih jauh, TKA dirancang untuk mengukur kompetensi mendasar yang mencakup pengetahuan dan keterampilan akademik inti, seperti literasi membaca, literasi matematika (numerasi), serta kemampuan berpikir kritis dan pemecahan masalah yang berkaitan dengan berbagai mata pelajaran. Melalui soal-soal yang disusun secara sistematis dan terstandar, asesmen ini tidak hanya menilai kemampuan menghafal, tetapi juga menekankan pada keterampilan berpikir tingkat tinggi (higher order thinking skills). Hasil TKA kemudian dapat digunakan untuk memberikan umpan balik yang konstruktif, baik bagi siswa dalam mengidentifikasi kekuatan dan kelemahannya, maupun bagi guru dalam merancang strategi pembelajaran yang lebih tepat sasaran.
Selain itu, TKA juga memiliki peran strategis dalam mendukung kebijakan pendidikan nasional. Data hasil tes ini dapat menjadi sumber informasi yang kredibel bagi sekolah, pemerintah daerah, maupun pemangku kebijakan di tingkat pusat dalam merumuskan program peningkatan mutu pendidikan. Dengan adanya pelaporan capaian akademik yang bersifat individual, sekolah dapat mengetahui kebutuhan belajar siswanya secara lebih rinci, sementara orang tua dapat memahami perkembangan anaknya secara lebih objektif. Dengan kata lain, TKA hadir bukan hanya untuk menilai, tetapi juga untuk mendorong peningkatan kualitas pembelajaran, penguatan kompetensi dasar siswa, serta penciptaan ekosistem pendidikan yang lebih berkeadilan.
Secara teknis, TKA untuk level SMA dilaksanakan secara daring dengan menggunakan aplikasi CBT, sama seperti penyelenggaraan OSN dan ANBK. Untuk mengikuti TKA, murid SMA akan menghadapi 3 mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika, serta 2 dari 4 mata pelajaran pilihan yang mereka jalani sebelumnya. Sebagai contoh, jika seorang murid memilih mata pelajaran Sosiologi, Ekonomi, Matematika Tingkat Lanjut, dan Fisika saat pertama kali menginjak kelas XI, maka ia hanya boleh memilih 2 dari 4 mata pelajaran tersebut, misalnya Sosiologi dan Ekonomi, untuk diuji dalam TKA. Kebijakan ini mungkin bakal berubah sewaktu-waktu sehingga perlu ditelaah kembali.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA Paket 1
Dari segi format soal, soal TKA tidak hanya berbentuk pilihan ganda biasa, tetapi juga memuat soal berbentuk pilihan ganda kompleks (jawaban benar lebih dari satu). Siswa diminta mencentang pernyataan yang bernilai benar dari beberapa pernyataan yang diberikan atau bisa juga memutuskan apakah pernyataan-pernyataan yang diberikan bernilai benar atau salah pada tabel yang disediakan. Ini berarti, format soal TKA mengadopsi soal Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) yang juga tidak hanya memuat soal pilihan ganda. Hal ini berbeda dengan soal Ujian Nasional (UN) yang dulunya diselenggarakan dalam bentuk soal pilihan ganda biasa saja.
Berdasarkan informasi yang beredar, TKA level SMA/MA/Sederajat dan SMK/MAK dilaksanakan selama dua hari. Pada hari pertama, siswa akan menghadapi tes mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia (45 menit), Matematika (50 menit), dan Bahasa Inggris (45 menit). Sementara itu, pada hari kedua, siswa akan menghadapi tes dua mata pelajaran pilihan, masing-masing diberi durasi pengerjaan selama 60 menit.
Untuk mempersiapkan TKA dengan lebih matang, berikut telah disediakan beberapa contoh soal dan pembahasan TKA mata pelajaran Matematika Tingkat Lanjut SMA (Paket 2) yang selaras dengan kerangka kisi-kisi yang dikeluarkan pemerintah. Semoga dapat dijadikan sumber belajar untuk meningkatkan pemahaman.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 1
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal LokaLAN.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Today Quote.
Dalam tim, tidak boleh ada ide yang diremehkan dan tidak boleh ada kegagalan yang ditertawakan.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} x+3 & x+5 \\ 4 & x-1 \end{pmatrix}.$ Jika $\det(P) = -8,$ tentukan pernyataan berikut yang benar. Jawaban benar lebih dari satu.
- Ada satu nilai $x$ yang memenuhi.
- Ada dua nilai $x$ yang memenuhi.
- Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = 3$ atau $x = 5.$
- Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -3$ atau $x = 5.$
- Hasil penjumlahan nilai $x$ yang memenuhi adalah $8.$
Pembahasan
Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} x+3 & x+5 \\ 4 & x-1 \end{pmatrix}$ dan $\det(P) = -8.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} (x+3)(x-1)-4(x+5) & = -8 \\ (x^2+2x-3)-4x-20 & = -8 \\ x^2-2x-15 & = 0 \\ (x+3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$$sehingga ada dua nilai $x$ yang memenuhi, yaitu $x = -3$ atau $x = 5.$
Cek Pernyataan 1:
Pernyataan 1 jelas salah karena seharusnya ada dua nilai $x$ yang memenuhi.
Cek Pernyataan 2:
Pernyataan 2 jelas benar berdasarkan perhitungan di atas.
Cek Pernyataan 3:
Pernyataan 3 jelas salah karena nilai $x$ yang memenuhi seharusnya $x = -3$ atau $x = 5.$
Cek Pernyataan 4:
Pernyataan 3 jelas benar berdasarkan perhitungan di atas.
Cek Pernyataan 5:
Jumlah dua nilai $x$ yang memenuhi adalah $-3 + 5 = 2,$ bukan $8.$ Dengan demikian, Pernyataan 5 salah.
Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Ada dua nilai $x$ yang memenuhi.
- Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -3$ atau $x = 5.$
[collapse]
Soal Nomor 2
Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan matriks $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. Jika $(A+B)^{-1} \cdot C = B^{-1}$, matriks $A = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}-3 & 8 \\ 9 & 20 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 20 &-9 \\-8 & 3 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-3 &-9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
Pembahasan
Diketahui
$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}~~~~C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} (A+B)^{-1} \cdot C & = B^{-1} \\ C & = (A+B)B^{-1} \\ CB & = A + B \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 3
Matriks $P, Q,$ dan $R$ memenuhi persamaan $PQ-I=R$ dengan $I$ merupakan matriks identitas. Jika $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $R = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 3 & 6 \end{pmatrix},$ tentukan pernyataan berikut yang benar. Jawaban benar lebih dari satu.
- Nilai $\det(P) = 1.$
- Matriks $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.$
- Hasil matriks $P-Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}.$
- Hasil matriks $P+Q = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}.$
- Invers matriks $P$ adalah $P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}.$
Pembahasan
Diketahui matriks $P, Q,$ dan $R$ memenuhi persamaan $PQ-I=R$ dengan $I$ merupakan matriks identitas. Diketahui juga $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $R = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.$
Cek Pernyataan 1:
Karena $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},$ determinannya dinyatakan oleh
$$\det(P) = 2(1)-1(3) = -1.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Dari persamaan $PQ-I = R,$ diperoleh
$$\begin{aligned} PQ & = R + I \\ Q & = P^{-1}(R+I) \\ P & = \dfrac{1}{2(1)-1(3)} \begin{pmatrix} 1& -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \left(\begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \\ Q & = \begin{pmatrix} -1& 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & 19 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ Q & = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Karena $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$P-Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Karena $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix},$ diperoleh
$$P+Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Diketahui $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Determinan matriks $P$ adalah $\det(P) = 2(1)-1(3) = -1.$ Ini berarti, inversnya adalah
$$P^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1& -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.
Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Matriks $Q = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.$
- Invers matriks $P$ adalah $P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}.$
[collapse]
BONUS
Diketahui fungsi polinomial yang didefinisikan oleh $f(x) = -2x^5 + 4x^4-x^2+8x-9.$ Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang ($\checkmark$) pada kotak di depan pernyataan yang benar.
- Suku utamanya adalah $2x^5.$
- Nilai fungsi $f(2) = 3.$
- Konstantanya adalah $9.$
- Derajat polinomial tersebut adalah $5.$
- Salah satu nilai yang membuat $f(x) = 0$ adalah $1.$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = -2x^5 + 4x^4-x^2+8x-9.$
Cek Pernyataan 1:
Pada polinomial, suku utama adalah suku dengan variabel berpangkat paling tinggi. Dalam kasus ini, suku utama $f(x)$ adalah $-2x^5$ karena pangkat tertinggi polinomial tersebut adalah $5.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 salah karena seharusnya suku utamanya adalah $-2x^5,$ bukan $2x^5.$
Cek Pernyataan 2:
Substitusi $x = 2$ pada $f(2)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} f(2) & = -2(2)^5 + 4(2)^4-(2)^2 + 8(2)-9 \\ & = -64 + 64- 4 + 16-9 \\ & = 3. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel. Dalam kasus ini, polinomial tersebut memiliki konstanta $-9$ (operasi pengurangan dianggap sebagai tanda negatif). Dengan demikian, Pernyataan 3 salah karena seharusnya konstantanya $-9,$ bukan $9.$
Cek Pernyataan 4:
Pada polinomial, derajat adalah pangkat tertinggi variabelnya. Dalam kasus ini, polinomial tersebut memiliki pangkat tertinggi $5$ sehingga Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Substitusi $x = 1$ pada $f(1)$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} f(1) & = -2(1)^5 + 4(1)^4-(1)^2 + 8(1)-9 \\ & = -2 + 4- 1 + 8-9 \\ & = 0. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.
Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Nilai fungsi $f(2) = 3.$
- Derajat polinomial tersebut adalah $5.$
- Salah satu nilai yang membuat $f(x) = 0$ adalah $1.$
[collapse]
Soal Nomor 5
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-30$ C. $10$ E. $50$
B. $-10$ D. $30$
Pembahasan
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$ Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0}-5(3+\sqrt{9+x}) \\ & =-5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & =-5(3 + 3) =-30. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}.$
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 6
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $\dfrac23\sqrt3$ E. $\dfrac32$
B. $\dfrac23$ D. $1$
Pembahasan
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan (dua kali berturut-turut), diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3} \times \dfrac{\sqrt{2x-2}+2}{\sqrt{2x-2}+2}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{(2x-2)-4}{3x-9} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{(x-3)}}{3\cancel{(x-3)}} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3(3)}+3}{\sqrt{2(3)-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{6}{4} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = 1}.$
(Jawaban D)
[collapse]
BONUS
Segitiga $KLM$ yang memiliki koordinat titik $K(-1, -2),$ $L(5, -1),$ dan $M(2, 3)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ sehingga menghasilkan bayangan segitiga $K’L’M’.$ Berdasarkan informasi tersebut, tentukan benar atau salah untuk setiap pernyataan berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~K~\text{adalah}~K'(-3, 0). & & \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~L~\text{adalah}~L'(7, 1). & & \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~M~\text{adalah}~M'(0, 5). & & \\ \hline \end{array}$$
Pembahasan
Diketahui segitiga $KLM$ yang memiliki koordinat titik $K(-1, -2),$ $L(5, -1),$ dan $M(2, 3)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ sehingga menghasilkan bayangan segitiga $K’L’M’.$
Cek Pernyataan 1:
Bayangan titik $K$ setelah ditranslasi oleh $T$ dinyatakan oleh
$$K’ = K + T = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Bayangan titik $L$ setelah ditranslasi oleh $T$ dinyatakan oleh
$$L’ = L + T = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 2 salah karena seharusnya hasil translasi titik $L$ adalah $L'(3, 1).$
Cek Pernyataan 3:
Bayangan titik $M$ setelah ditranslasi oleh $T$ dinyatakan oleh
$$M’ = M + T = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~K~\text{adalah}~K'(-3, 0). & \checkmark & \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~L~\text{adalah}~L'(7, 1). & & \checkmark \\ \hline \text{Hasil translasi titik}~M~\text{adalah}~M'(0, 5). & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
[collapse]
BONUS
Diketahui prisma dengan alas berbentuk segitiga siku-siku. Tinggi prisma $3x$ cm. Panjang sisi siku-siku alas adalah $(x+1)$ cm dan $(2x-2)$ cm. Sementara itu, volume prismanya adalah $360~\text{cm}^3.$
Berdasarkan informasi tersebut, tentukan setuju atau tidak setuju untuk setiap pernyataan berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Setuju} & \textbf{Tidak Setuju} \\ \hline \text{Tinggi prisma adalah}~18~\text{cm}. & & \\ \hline \text{Panjang kerangka prisma adalah}~93~\text{cm}. & & \\ \hline \text{Luas permukaan prisma adalah}~408~\text{cm}^2. & & \\ \hline \end{array}$$
Pembahasan
Diketahui prisma dengan alas berbentuk segitiga siku-siku. Tinggi prisma $t = 3x$ cm. Panjang sisi siku-siku alas adalah $(x+1)$ cm dan $(2x-2)$ cm. Sementara itu, volume prismanya adalah $V = 360~\text{cm}^3.$
Luas alas (luas segitiga siku-siku) dapat dihitung terlebih dahulu, yaitu $$L_A = \dfrac12(x+1)(2x-2) = (x+1)(x-1).$$Karena volumenya $V = 360~\text{cm}^3,$ diperoleh
$$\begin{aligned} V & = L_A \cdot t \\ 360 & = (x+1)(x-1) \cdot 3x \\ 120 & = (x-1)x(x+1). \end{aligned}$$Tiga bilangan berurutan yang hasil kalinya $120$ adalah $4, 5, 6.$ Ini berarti, nilai $x = 5.$
Cek Pernyataan 1:
Karena tinggi prisma $3x$ cm dan telah didapat $x = 5,$ diperoleh tingginya sama dengan $3(5) = 15$ cm. Dengan demikian, Pernyataan 1 salah karena seharusnya tinggi prisma tersebut adalah $15$ cm.
Cek Pernyataan 2:
Pada alas prisma, panjang sisi siku-sikunya adalah $x+1 = 5+1=6$ cm dan $2x-2 = 2(5)-2 = 8$ cm. Berdasarkan teorema Pythagoras, panjang hipotenusanya adalah $\sqrt{6^2+8^2} = 10$ cm. Keliling segitiganya menjadi $6+8+10 = 24$ cm. Ini berlaku untuk sisi alas maupun sisi atas prisma. Sementara itu, tinggi masing-masing rusuk penopang prisma adalah $t = 15$ cm. Ini berarti, panjang kerangka prisma dapat dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{panjang kerangka} & = 2 \cdot \text{keliling segitiga} + 3t \\ & = 2(24) + 3(15) \\ & = 48 + 45 \\ & = 93~\text{cm}. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Luas alas dan luas atas prisma adalah luas segitiga siku-siku, yaitu $L_A = \dfrac12(6)(8) = 24~\text{cm}^2.$ Sementara itu, total luas sisi tegak prisma adalah hasil kali keliling segitiga dengan tinggi prisma, yaitu $L_{S} = 24 \cdot 15 = 360~\text{cm}^2.$ Ini berarti, luas permukaan prisma dapat dihitung dengan cara
$$L_{\text{Prisma}} = 2 \cdot L_A + L_S = 2(24) + 360 = 408~\text{cm}^2.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang setuju dan tidak setujunya ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Setuju} & \textbf{Tidak Setuju} \\ \hline \text{Tinggi prisma adalah}~18~\text{cm}. & & \checkmark \\ \hline \text{Panjang kerangka prisma adalah}~93~\text{cm}. & \checkmark & \\ \hline \text{Luas permukaan prisma adalah}~408~\text{cm}^2. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
[collapse]
Soal Nomor 16
Jika $^{30} \log 3 = a$ dan $^{30} \log 5 = b,$ maka $^{30} \log 4 = \cdots \cdot$
A. $2(2-a-b)$
B. $2(1-a-b)$
C. $2(1+a-b)$
D. $2+a+b$
E. $2-a-b$
Pembahasan
Diketahui:
$\begin{aligned} ^{30} \log 3 &=a \\ ^{30} \log 5 & = b \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $30 = 2 \times 3 \times 5$. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^{30} \log 30 & = ^{30} \log (2 \times 3 \times 5) \\ ^{30} \log 30 & = ^{30} \log 2 + ^{30} \log 3 + ^{30} \log 5 \\ 1 & = ^{30} \log 2 + a + b \\ ^{30} \log 2 & =1-a-b \\ 2 \times ^{30} \log 2 & = 2(1-a-b) \\ ^{30} \log 4 & = 2(1-a-b) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{^{30} \log 4=2(1-a-b)}.$
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 17
Jika $f(x)=3^x$, maka $f(a+2b-c) = \cdots \cdot$
A. $f(a)+f(2b)-f(c)$
B. $\dfrac{2f(a) \cdot f(b)}{f(c)}$
C. $\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}$
D. $\dfrac{f(a)+(f(b))^2}{f(c)}$
E. $f(a+2b)-f(c)$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = 3^x$ sehingga
$\begin{aligned} f(a+2b-c) & = 3^{a+2b-c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot 3^{2b}}{3^c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot (3^{b})^2}{3^c} \\ & = \dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+2b-c) =\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}}$
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \dfrac47$ atau $x = 8$
B. $x = \dfrac47$ atau $x = -8$
C. $x = -\dfrac47$ atau $x = 9$
D. $x = \dfrac47$
E. $x = 8$
Pembahasan
Diketahui $|3x+2|+4x = 6$.
Jika $3x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac23$, maka $|3x+2| = 3x+2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (3x+2)+4x & = 6 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac23$).
Jika $3x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac23$, maka $|3x+2| = -3x-2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (-3x-2)+4x & = 6 \\ x & = 8 && (\text{X}) \end{aligned}$
(Tidak memenuhi syarat $x < -\frac23$).
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $x = \dfrac47$.
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 1
Kurva $f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}$ mempunyai $\cdots \cdot$
- satu asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal
- satu asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal
- dua asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal
- dua asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal
- tidak mempunyai asimtot vertikal, tetapi mempunyai satu asimtot horizontal
Pembahasan
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan asimtot horizontal dari fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Perhatikan bahwa $$f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3} = \dfrac{(x-2)(x-5)}{(x-1)(x-3)}.$$Pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut tidak memiliki faktor bersama. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebutnya tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-4x+3 & = 0 \\ (x-1)(x-3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = 1$ dan $x = 3.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $f(x) = \dfrac{\color{blue}{1x^2}-7x+10}{\color{red}{1x^2}-4x+3}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 7
Grafik $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki $\cdots \cdot$
- satu asimtot vertikal, yaitu $x = 2$
- sumbu $Y$ sebagai asimtot vertikal
- sumbu $X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal
- dua asimtot vertikal, yaitu $x = \pm 2$, tetapi tidak memiliki asimtot horizontal
- dua asimtot horizontal, yaitu $y = \pm 2$, tetapi tidak memiliki asimtot vertikal
Pembahasan
Diketahui $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-4 & = 0 \\ (x-2)(x+2) & = 0 \\ x = 2~\text{dan}~x & = -2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = \pm 2.$
Asimtot Horizontal:
Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut (pembilang: 0 dan penyebut: 2) sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu $X$ atau persamaan $y = 0.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, grafik $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki sumbu $X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal.
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 5
Grafik fungsi $f(x) = -2 \cos 3x,$ $-\pi \leq x \leq \pi$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Bentuk umum fungsi kosinus adalah $f(x) = a \cos kx$. karena $f(x) = -2 \cos 3x$, maka $a = -2$ dan $k = 3$.
Amplitudo grafiknya adalah $-(-a) = a = 2$ dan saat $x = 0^{\circ}$, nilai fungsinya adalah $f(0) = -2 \cos 3(0) = -2(1) = -2$
sehingga pilihan B, D, E tereliminasi.
Karena $k = 3$, maka periode fungsinya adalah
$\begin{aligned} k &= \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \\ 3 & = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \Leftrightarrow \text{Periode} = \dfrac{2}{3}\pi \end{aligned}$
Pada pilihan A, periode grafiknya adalah $\pi -(-\pi) = 2\pi$, sedangkan pada pilihan C, periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut: dari titik $x = 0$ ke titik $x = \pi$ terdapat 1,5 gelombang (1,5 lembah; 1,5 bukit) sehingga periodenya adalah $\dfrac{\pi -0}{1,5} = \dfrac{2}{3}\pi.$
Jadi, grafik fungsi $f(x) = -2 \cos 3x$ ditunjukkan pada pilihan C.
[collapse]
Soal Nomor 16
Garis $3x+2y=6$ ditranslasikan oleh $T (3,-4)$, lalu dilanjutkan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $2$. Hasil bayangan transformasinya adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+2y=14$
B. $3x+2y=7$
C. $3x+y=14$
D. $3x+y=7$
E. $x+3y=14$
Pembahasan
Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T(3,-4)$ sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3,-4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y- 4 \end{pmatrix}.$
Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 2 sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x + 3 \\ y-4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y- 8 \end{pmatrix}.$
Dengan demikian,
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2} \\ y^{\prime \prime} = 2y-8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $3x+2y=6$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x^{\prime \prime}-6) + 2(y^{\prime \prime} + 8) & = 12 \\ 3x^{\prime \prime}-18 + 2y^{\prime \prime} + 16 & = 12 \\ 3x^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime} & = 14. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah $\boxed{3x+2y=14}.$
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 17
Garis $y=2x-3$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Persamaan bayangan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $y=2x+4$ D. $y=-2x+4$
B. $y=2x-4$ E. $y=-2x-3$
C. $y=2x-3$
Pembahasan
Konsep translasi:
Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ sehingga koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$
Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix},$ diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’- 3\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4. \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}.$
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 9
Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$
A. $x+2y+2=0$
B. $x+2y+6=0$
C. $x+2y-2=0$
D. $x+2y=0$
E. $x+2y-8=0$
Pembahasan
Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$
Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$
Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum (kanonik).
$$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ (x^2- 8x) + (y^2 + 6y)-20 & = 0 \\ (x- 4)^2-16 + (y+3)^2-9-20 & = 0 \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $(4,-3).$
Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,-3)$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y-(-3) & =-\dfrac{1}{2}(x- 4) \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$
Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya.
(Jawaban A)
[collapse]
